Faktorisering med hjälp av kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering

Vi har tidigare konstaterat för att vi allmänt kan nedteckna en andragradsekvation på formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0.

I de föregående avsnitten besitter vi löst icke-fullständiga andragradsekvationer, alltså sådana fall från andragradsekvationer likt antingen besitter saknat enstaka x-term från första graden (det önskar säga äger haft konstanten b = 0, vilket vi kallat enkla andragradsekvationer) eller saknat en konstantterm (c = 0), vilka vi löste genom för att skriva vänsterledet i faktorform och sedan använda nollproduktmetoden.

Men dessa fall har bara varit specialfall. Hur fullfölja vi inom det allmänna fallet, då varken a, b alternativt c besitter värdet noll? Det existerar detta allmänna fall liksom vi för tillfället ska ta oss an och detta gör oss med hjälp av kvadratkomplettering, en betydande metod likt kommer för att leda fram till pq-formeln, en många användbar teknik som oss kommer för att använda framöver då oss ska åtgärda andragradsekvationer.

Ett modell på enstaka fullständig andragradsekvation som oss vil

Kvadratkomplettering: metod för att lösa andragradsekvationer där vi lägger till termer så att det skapar något på formen av en kvadrat, dvs $$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$ Uppgifter. 1 faktorisera uttryck 2 Kvadratkomplettering är ett sätt att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom lösningsmetoden pq-formeln. Idén här är att lägga till en kvadrat (något upphöjt med 2) på bägge sidor om likhetstecknet för att därefter kunna faktorisera ena ledet med kvadreringsreglerna. 3 kvadratkomplettering exempel 4 Hallå! Kan man säga att alla uttryck som innehåller x 2 + x (möjligtvis några tal framför), att det går att räkna med faktorisering med hjälp av kvadreringsreglerna? Alltså ex fråga: kvadratkomplettera och skriv uttrycket på formen (ax + b)2 + c, på följande uttryck: x 2 + 20x + 5 Din faktorisering 2x + 4x^4 = 2x(1+2x^2) är inte korrekt. Omdu multiplicerar ihop faktorerna i högerledet får du inte fram rätt uttryck. (Det skall vara 2 x + 4 x 4 = 2 x (1 + 2 x 3 2x+4x^4=2x(1+2x^3).) Det här är precis vad man lär sig i Ma2 - att faktorisera vilket andragradsuttryck f (x) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c som helst. 6 En utförlig genomgång av hur du enkelt och snabbt hittar max- eller min-punkter (vertex) för andragradsfunktioner med hjälp av kvadratkomplettering. 7 faktorisera polynom 8 Kvadratkomplettering är ett sätt att lösa andragradsekvationer och den metod som ligger bakom lösningsmetoden pq-formeln. 9 För att lösa denna med hjälp av kvadratkomplettering börjar vi med att se till att koefficienten framför x²-termen blir lika med 1. 10 I denne videoen viser jeg hvordan en del algebraiske uttrykk kan faktoriseres ved hjelp av kvadratsetningene. Når jeg skriver kvadratsetningene her, innbefatter dette også konjugatsetningen. 11 Faktorisering. Ofta behöver man inte använda sig av pq-formeln för att lösa en andragradsekvation. Alla andragradsekvationer går att faktorisera, även om svårighetsgraden ibland är olika. Tillvägagångsättet är i grund och botten samma för alla sorters andragradare. 12

Faktorisering

I tidigare segment har oss bekantat oss med polynom och hur det går till då vi utför multiplikation från polynom. oss har även lärt oss användbara regler för tre specialfall från polynommultiplikation: inledande och andra kvadreringsreglerna, samt konjugatregeln.

I detta här avsnittet ska oss titta närmare på faktorisering av polynom, ett term som oss har stött på inom den förra kursen, inom avsnittet angående parenteser samt variabler.

Vi kan titta faktorisering från ett polynom som således att oss går "åt andra hållet" jämfört tillsammans med om oss skulle multiplicera två polynom. Vid faktorisering utgår oss nämligen ifrån ett polynom och bör skriva detta som enstaka produkt från två andra polynom (faktorer).

När vi faktoriserar ett polynom skriver oss om polynomet så för att det blir en vara av minimalt två faktorer. Att behärska skriva en polynom vid denna struktur är användbart bland annat när oss ska åtgärda andragradsekvationer, vilket vi kommer till inom ett senare avsnitt inom den denna plats kursen.

Faktorisering genom att avbryta ut ett fakt

Kvadratkomplettering är en sätt för att lösa andragradsekvationer och den metod liksom ligger på baksidan lösningsmetoden pq-formeln. Idén denna plats är för att lägga mot en kvadrat (något upphöjt med 2) på bägge sidor ifall likhetstecknet på grund av att därefter kunna faktorisera ena ledet med kvadreringsreglerna.

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^ab+b^2$

Ett sätt för att veta vilket vi skall kvadratkomplettera tillsammans är för att skriva angående ekvationen således att oss endast äger konstanten inom högerledet samt variabeltermerna inom vänsterledet. Sedan kompletterar oss med halva koefficienten framför $x$ i kvadrat. Då kan ni alltid faktorisera den inom nästa steg.

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^2+8x-9=0$2+8−9=0 med kvadratkomplettering.

Lösning

Vi har ekvationen  $x^2+8x-9=0$2+8−9=0 och skriver nu angående den som

$x^2+8x=9$2+8=9

Sedan kompletterar oss med halva koefficienten framför x i kvadrat, $\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2$(82)2=42

$x^2+8x+4^2=9+4^2$2+8+42=9+42

Nu kan vänsterledet faktoriseras samt höge

Kvadratkomplettering och ev faktorisering

Henrik skrev:

Någon kvadratkomplettering ser inte ut att artikel möjlig, eller?

Jo, om ni vill kvadratkomplettera uttrycket 2b2-4b+34 så är kapabel du utföra på nästa sätt:

Börja tillsammans med att avbryta ut faktorn 2, ni får då

2(b2-2b+17)

Nu kan ni kvadratkomplettera uttrycket innanför parenteserna, dvs b2-2b+17, så hör:

Lägg till samt dra ifrån kvadraten från halva koefficienten framför b-termen, dvs placera eller sätt till samt dra ifrån 1:

b2-2b++17

Förenkla:

b2-2b+1+16

De tre första termerna kan för tillfället, med hjälp av andra kvadreringsregeln, tecknas (b-1)2.

Uttrycket blir då

(b-1)2+16

Nu kommer vi minnas att detta endast plats uttrycket innanför parenteserna.

Ursprungsuttrycket förmå alltså skrivas

2((b-1)2+16)

Eller, om oss vill, 2(b-1)2+

=========

Att kvadratkomplettera ger en rad fördelar, bl.a.

  • Vi ser direkt att uttryckets minsta värde antas då b = 1 samt att symmetrilinjen alltså existerar vid b = 1.
  • Vi ser direkt att uttryckets minsta värde är

Copyright ©auntish.pages.dev 2025